Родился 14 августа 1922 года в cеле Нижний Дженгутай (по другим источникам — в городе Буйнакске) в крестьянской семье. В 18 лет ушел добровольцем на фронт. Окончил 19-ю военную авиационную школу первоначального обучения в июле 1942 года и сразу же переведён в ВВС Военно-морского флота СССР. В июле 1943 года окончил 3-е военно-морское авиационное училище (Саранск).
На фронте Великой Отечественной войны младший лейтенант Юсуп Акаев с сентября 1943 года. Свой боевой путь начал на Чёрном море, куда пришёл в часть в разгар боев за Новороссийск и 25 октября 1943 года совершил первый боевой вылет. В последствии участвовал в Керченско-Эльтигенской десантной, Крымской наступательной операциях.
Именно о время крымской операции Юсуп Акаев вместе с другими пилотами стал одним из пионеров т.н. «топмачтового» бомбометания. Для успешного захвата порта Феодосии пилотам было необходимо как можно ниже подлетать к вражеским еораблям для броса бомб (пока бомбы летят с большой высоты, торпедные катера успевают увильнуть от них). Пилоты вынуждены были уже не пикировать на корабль, а идти на него над водой как можно ниже и, приблизившись, лётчик должен сбросить бомбы и тотчас у самого корабля резко вырвать машину вверх.
Во время одного из подобных вылетов в ноябре 1943 года самолет Акаева попал под перекрестный огонь немецких зениток. Летчик пытался дотянуть изрешеченный снарядами самолет до своего аэродрома, но, когда Ил стал стремительно терять высоту, был вынужден посадить его на воду. Более пяти часов он и его стрелок находились в штормящих водах Черного моря, пока их не подобрал советский катер. В 2015 году поисковая экспедиция из Санкт-Петербурга обнаружила самолет дагестанского летчика в Керченском проливе. Подбитый вражеской зениткой 8 ноября 1943 года, он пролежал на морском дне 73 года. По номеру двигателя удалось установить, что 8 ноября 1943 года на борту Ил-2 находилось два человека: выпускник военно-морского авиационного училища, летчик Юсуп Акаев и сержант Сергей Слепков. Самолет был отправлен из Севастополя в Дагестан. Сейчас фрагменты Ил-2 находятся в Историко-краеведческом музее г. Буйнакска.
После завершения освобождения Крыма в мае 1944 года полк в полном составе был передан в ВВС Балтийского флота где в апреле 1944 года Юсуп Абдулабекович был назначен командиром авиационной эскадрильи. К июлю 1944 года совершил 104 боевых вылета, уничтожил 4 транспорта, 7 быстроходных десантных барж, 1 тральщик, 1 торпедный катер, 1 танкер и 1 сухогрузную баржу, уничтожил 3 паровоза, 11 танков, 72 автомашины и много другой боевой техники противника; повредил 5 транспортов, 11 быстроходных десантных барж, 1 эсминец.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 19 августа 1944 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом отвагу и геройство капитану Акаеву Юсупу Абдулабековичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
После войны Юсуп Акаев служил в том же полку. В октябре 1947 года был переведён командиром эскадрильи в 8-й гвардейский штурмовой авиационный полк ВВС 8-го ВМФ на Балтийском море. С августа 1948 года майор Акаев Ю. А. — в отставке.
Скоропостижно скончался 19 ноября 1949 года на 28-м году жизни из-за последствий полученных в период войны ранений.